抛物线的顶点在原点,焦点在x轴正半轴,一内接三角形的直角顶点在坐标原点,一

题目

抛物线的顶点在原点,焦点在x轴正半轴,一内接三角形的直角顶点在坐标原点,一
抛物线的顶点在原点,焦点在x轴正半轴,一内接三角形的直角顶点在坐标原点,一直角边方程为y=2x,斜边长为5倍根号3,求抛物线方程

答案

设抛物线为y²=2px,p>0
∵一条直角边为y=2x,且直角为原点
∴另一条直角边为y=-x/2
联立y²=2px和y=2x,得：4x²=2px,即(2x-p)x=0
∵斜边的端点不是原点,则x=p/2,即斜边的一个端点为(p/2,p)
联立y²=2px和y=-x/2,得：x²/4=2px,即(x-8p)x=0
∵斜边的端点不是原点,则x=8p,即斜边的另一个端点为(8p,-4p)
则斜边长度为：√[(p/2-8p)²+(p+4p)²]=√[225p²/4+25p²]=√[325p²/4]=5p/2·√13=5√3
则p=2√39/13
∴抛物线方程为：y²=4√39/13·x