如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,点E、F分别在AB、DC上,AE=DF=2,现把一块直径为2的量角器(圆心为O)放置在图形上,使其0°线MN与EF重合;若将量角器0°线上的端点N固定在点F
题目
如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,点E、F分别在AB、DC上,AE=DF=2,现把一块直径为2的量角器(圆心为O)放置在图形上,使其0°线MN与EF重合;若将量角器0°线上的端点N固定在点F上,再把量角器绕点F顺时针方向旋转∠
α(0°<α<90°),此时量角器的半圆弧与EF相交于点P,设点P处量角器的读数为n°.
(1)用含n°的代数式表示∠α的大小;
(2)当n°等于多少时,线段PC与MF平行?
(3)在量角器的旋转过程中,过点M′作GH⊥M′F,交AE于点G,交AD于点H.设GE=x,△AGH的面积为S,试求出S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
答案
(1)连接O′P,则∠PO′F=n°;
∵O′P=O′F,
∴∠O′FP=∠a,
∴n°+2∠α=180°,即∠α=90°-
n°;
(2)连接M′P、PC.
∵M′F是半圆O′的直径,
∴M′P⊥PF;
又∵FC⊥PF,
∴FC∥M′P,
若PC∥M′F,
∴四边形M′PCF是平行四边形,∠α=30°,
∴PC=M′F=2FC,∠α=∠CPF=30°;
代入(1)中关系式得:
30°=90°-
n°,
即n°=120°;
(3)以点F为圆心,FE的长为半径画弧ED;
∵GM′⊥M′F于点M′,
∴GH是弧ED的切线,
同理GE、HD也都是弧ED的切线,
∴GE=GM′,HM′=HD;
设GE=x,则AG=2-x,
设DH=y,则HM′=y,AH=2-y;
在Rt△AGH中,AG
2+AH
2=GH
2,得:
(2-x)
2+(2-y)
2=(x+y)
2即:4-4x+x
2+4-4y+y
2=x
2+2xy+y
2∴y=
∴S=
AG•AH=
(2-x)(2-y)=
(0<x<2)
即:S与x函数关系式为S=
(0<x<2).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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