已知f(x)=x2-2x-3,试讨论函数f(5-x2)的单调性.

已知f(x)=x2-2x-3,试讨论函数f(5-x2)的单调性.

题目
已知f(x)=x2-2x-3,试讨论函数f(5-x2)的单调性.
答案
令t=5-x2,显然它的对称轴为x=0,且t≤5.
∵已知f(x)=x2-2x-3的对称轴为x=1,
①当 t=5-x2≥1 时,f(t)为增函数,解得-2≤x≤2.
在区间[-2,0)上,函数t是增函数,故函数f(5-x2)是增函数;
在区间[0,2]上,函数t是减函数,故函数f(5-x2)是减函数.
②当 t=5-x2<1 时,f(t)为减函数,解得x<-2,或x>2.
在区间(-∞,-2)上,函数t是增函数,故函数f(5-x2)是减函数.
在区间(2,+∞)上,函数t是减函数,故函数f(5-x2)是增函数.
综上可得,函数f(5-x2)的增区间为[-2,0)、(2,+∞),
减区间为[0,2]、(-∞,-2).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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