已知函数f（x）=（2x+1）ex（e为自然对数的底数） （1）求函数f（x）的单调区间； （2）求函数f（x）的极小值．

题目

已知函数f（x）=（2x+1）e^x（e为自然对数的底数）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极小值．

答案

（1）∵f（x）=（2x+1）e^x，
∴f′（x）=（2x+3）e^x，
令f′（x）=（2x+3）e^x＞0，解得，x＞−

3

2

，
令f′（x）=（2x+3）e^x＜0，解得，x＜−

3

2

，
∴f（x）的单调递增区间为(−

3

2

，+∞)，单调递减区间为(−∞，−

3

2

)．
（2）令f'（x）=（2x+3）e^x=0，得x＝−

3

2

，

x	(−∞，− 3 2 )	− 3 2	(− 3 2 ，+∞)
y'	负	0	正
y	递增		递减

∴当x＝−

3

2

时，f（x）取得极小值f(−

3

2

)＝−2e−

3

2

．
故函数f（x）的极小值为−2e−

3

2

．

（1）求出导函数f′（x），分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出不等式，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）根据（1）确定的函数单调性，即可求出函数f（x）的极小值．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题考查导数知识的运用，考查利用导数研究函数的单调性与极值，要注意求极值时，导数等于0根的左右单调性的判断．考查了分析解决问题的能力．属于基础题．