用中心极限定理求概率

题目

用中心极限定理求概率
一食品店有3种蛋糕出售,由于出售 哪一种是随机的,因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量,它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5.若出售300只蛋糕.求（1）收入至少400元的概率；(2）售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率

答案

（1）设售出的第i只蛋糕的价格为X(i),则E(x(i))=0.3+0.24+0.75=1.29,
D(X(i))=0.0489.
根据独立同分布的中心极限定理,Y=X(1)+...+X(300)近似服从正态分布N(387,14.67),所以
收入至少400元的概率为P(Y>=400) = 1-F((400-387)/3.83)=1-F(3.394)=1
(2)若售出第i只蛋糕为1.2元则让Z(i)=1,否则Z(i)=0
那么Z(i)服从0-1分布.记U=Z(1)+...+Z(300),则U~B(300,0.2)
根据中心极限定理U近似服从正态分布N(60,48)
所以售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率为
P(U>=60)=0.5