已知a根号（1-b^2 ）+b根号（1-a^2） =1,证明a^2+b^2=1

题目

已知a根号（1-b^2 ）+b根号（1-a^2） =1,证明a^2+b^2=1

答案

由根号（1-b^2 ）和根号（1-a^2）知,a和b的绝对值都小于1;
则设a=cosθ;b=cosη;
则:a根号（1-b^2 ）+b根号（1-a^2）
=cosθ·sinη + sinθ·cosη
=sin(θ+η)
即sin(θ+η)=1;
则θ+η=90°;
则b=cosη=cos(90°-θ)=sinθ;
则
a^2+b^2= sin^2 θ + cos^2 θ
=1.