已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（　　） A.既不充分也不必要的条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分

题目

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（　　）
A. 既不充分也不必要的条件
B. 充分而不必要的条件
C. 必要而不充分的条件
D. 充要条件

答案

∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴若f（x）为[0，1]上的增函数，则f（x）为[-1，0]上是减函数，
又∵f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且[3，4]与[-1，0]相差两个周期，
∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立．
若f（x）为[3，4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为[-1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立．
综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．
故选D．