要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20厘米，要使其体积最大，则其高应为（　　）厘米. A.2033 B.100 C.20 D.203

题目

要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20厘米，要使其体积最大，则其高应为（　　）厘米.
A.

20 3

3

B. 100
C. 20
D.

20

3

答案

设圆锥的高为x，则底面半径为

202−x2

其体积为V=

1

3

πx（20²-x²）（0＜x＜20），V′=

1

3

π（400-3x²），
令V′=0，解得x₁=

20 3

3

，x₂=-

20 3

3

（舍去）．
当0＜x＜

20 3

3

时，V′＞0；当

20 3

3

＜x＜20时，V′＜0；
∴当x=

20 3

3

时，V取最大值．
故选A

设出圆锥的高x，求出底面半径，推出体积的函数表达式，利用导数求出体积的最大值时的高即可．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题考查旋转体问题，以及利用导数求函数的最值问题，考查计算能力，是中档题．