定义在自然数集上的函数f(x),使f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=1求f(x)

题目

定义在自然数集上的函数f(x),使f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=1求f(x)
求详细解释

答案

令x=x y=1
f(x+y)=f(x+1)=f(x)+x+1
f(x+1)-f(x)=x+1
联系数列 可令f(x)=An
An-A(n-1)=n
.
A2-A1=2
用递归 易得 An=A1+2+3+...+n=(1+n)n/2
f(n)=[(1+n)n]/2
所以 f(x)=[(1+X)X]/2