急求当x——>0,e^tanx-e^x与x^n是同阶无穷小,则n=?

题目

急求当x——>0,e^tanx-e^x与x^n是同阶无穷小,则n=?

答案

e^tanx - e^x
= e^x [ e^(tanx - x) - 1 ]
e^x (tanx - x)
下面可以证明 tanx - x 与 x^3 同阶
lim(x→0) (tanx - x) / x³
= lim(x→0) (1/cos²x - 1) / (3x²) （洛必达法则）
= lim(x→0) (1 - cos²x) / (3x²cos²x)
= lim(x→0) sin²x / (3x²)
= 1/3
故 e^tanx - e^x 与 x³ 同阶
即 n = 3