请用向量证明,三角形同比分点所连成的三角形的重心和原三角形的重心重合

题目

请用向量证明,三角形同比分点所连成的三角形的重心和原三角形的重心重合

答案

设BD :DC = CE :EA = AF :FB = γ
根据矢量加法有 矢量BD + 矢量CE + 矢量AF = (γ/(1 + γ)) (矢量BC + 矢量CA + 矢量AB） = (γ/(1 + γ)) * 0 = 0
设 O 为△ABC的重心,有 矢量OA + 矢量OB + 矢量OC = 0
而 矢量OD = 矢量OB + 矢量BD
矢量OE = 矢量OC + 矢量CE
矢量OF = 矢量OA + 矢量AF
所以
矢量OD + 矢量OE + 矢量OF
= （矢量OB + 矢量BD） + （矢量OC + 矢量CE） + （矢量OA + 矢量AF）
= （矢量OA + 矢量OB + 矢量OC）+ （矢量BD + 矢量CE + 矢量AF）
= 0 + 0 = 0
故 O也是△DEF的重心.问题得证.
注：这里用到一个定理：
O是三角形的重心的充要条件是矢量OA+矢量OB+矢量OC=0