如图,AD为△ABC的中线,DE、DF分别为△ADB、△ADC的角平分线,求证:BE+CF>EF.

如图,AD为△ABC的中线,DE、DF分别为△ADB、△ADC的角平分线,求证:BE+CF>EF.

题目
如图,AD为△ABC的中线,DE、DF分别为△ADB、△ADC的角平分线,求证:BE+CF>EF.
答案
证明:∵AD为△ABC的中线,
∴BD=CD,
如图,在AD上截取DN=DB=DC,
∵DE、DF分别为△ADB、△ADC的角平分线,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
在△BDE和△NDE中,
BD=DN
∠1=∠2
DE=DE

∴△BDE≌△NDE(SAS),
∴BE=NE,
同理,在△CDF和△NDF中,
CD=DN
∠3=∠4
DF=DF

∴△CDF≌△NDF(SAS),
∴CF=NF,
在△EFN中,NE+NF>EF,
∴BE+CF>EF.
根据中线的定义可得BD=CD,在AD上截取DN=DB=DC,然后利用“边角边”证明△BDE和△NDE全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=NE,同理证明△CDF和△NDF全等,根据全等三角形对应边相等可得CF=NF,然后根据三角形的任意两边之和大于第三边证明.

全等三角形的判定与性质.

本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的任意两边之和大于第三边,作辅助线构造出全等三角形并把BE、CF、EF的长度转化为同一个三角形的三边是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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