设f(x)连续,证明（积分区间为0到π）∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx

题目

设f(x)连续,证明（积分区间为0到π）∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx

答案

证明：令x=π-t,则x由0到π,t由π到0,dx=-dt
原式记为I
则I=-（积分区间π到0）∫(π-t)f(sin(π-t)dt
=-(积分区间π到0）∫(π-t)f(sin(t)dt
=(积分区间0到π）∫(π-t)f(sin(t)dt
=(积分区间0到π）∫πf(sin(t)dt-I
所以2I=(积分区间0到π）∫πf(sin(t)dt
即I=（π/2)∫f(sint)dt=(π/2)∫f(sinx)dx