已知函数f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x—π/6)—cos2x+a(a为实数,属于R)

题目

已知函数f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x—π/6)—cos2x+a(a为实数,属于R)
（1）求最小正周期
（2）求函数单调增区间
（3）若x属于【0,pai/2】时,F（x)的最小值是-2,求a

答案

第一个问题：
f（x）＝sin2xcos（π/6）＋cos2xsin（π/6）＋sin2xcos（π/6）－cos2xsin（π/6）－cos2x＋a
＝2sin2xcos（π/6）－cos2x＋a＝2［sin2xcos（π/6）－cos2xsin（π/6）］＋a
＝2sin（2x－π/6）＋a.
∴函数f（x）的最小正周期为2π/2＝π.
第二个问题：
∵f（x）＝2sin（2x－π/6）＋a.∴当 2kπ－π/2≦2π－π/6≦2kπ＋π/2 时,f（x）单调递增.
由2kπ－π/2≦2x－π/6≦2kπ＋π/2,得：2kπ－3π/6＋π/6≦2x≦2kπ＋3π/6＋π/6,
∴2kπ－2π/6≦2x≦2kπ＋4π/6,∴kπ－π/6≦x≦kπ＋π/3.
即函数f（x）的单调增区间是［kπ－π/6,kπ＋π/3］,其中k为整数.
第三个问题：
∵0≦x≦π/2 ,∴0≦2x≦π,∴－π/6≦2x－π/6≦π－π/6,
∴f（x）的最小值为2sin（－π/6）＋a＝－1＋a＝－2,∴a＝－1.