设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a,b,c∈R）满足下列条件：①当x∈R时,其最小值为0,

题目

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a,b,c∈R）满足下列条件：①当x∈R时,其最小值为0,
且f（x-1）=f（-x-1）成立；
②当x∈（0,5）时,x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立.
（1）求f（1）的值
（2）求f（x）的解析式
（3）求最大的实数m（m＞1）,使得存在t∈R,只要当x∈【1,m】时,就有f（x+t）≤x成立

答案

(1)
因为1属于（0,5),因此1a=1/4
=>f(x)=(x+1)^2/4
(3)
又(x+1)^2/4-x=(x-1)^2/4>=0
因此（x+1)^2/4>=x
显然,x属于[1,m]时,是单调递增区间,要使x属于[1,m]时,都有f(x+t)(x+t+1)^2/4=x
=>x^2+2(t-1)x+(t+1)^2=0 (a)
又曲线通过(1,1）点,因此1是它的一个解
=》1+2(t-1)+(t+1)^2=0
=>t=-4
将t=-4代入（a)
=>x^2-10x+9=0
=>x1=1,x2=9
因此m=x2=9
因此这个最大的实数m的值为9