设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件:①当x∈R时,其最小值为0,
题目
设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件:①当x∈R时,其最小值为0,
且f(x-1)=f(-x-1)成立;
②当x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立.
(1)求f(1)的值
(2)求f(x)的解析式
(3)求最大的实数m(m>1),使得存在t∈R,只要当x∈【1,m】时,就有f(x+t)≤x成立
答案
(1)
因为1属于(0,5),因此1a=1/4
=>f(x)=(x+1)^2/4
(3)
又(x+1)^2/4-x=(x-1)^2/4>=0
因此(x+1)^2/4>=x
显然,x属于[1,m]时,是单调递增区间,要使x属于[1,m]时,都有f(x+t)(x+t+1)^2/4=x
=>x^2+2(t-1)x+(t+1)^2=0 (a)
又曲线通过(1,1)点,因此1是它的一个解
=》1+2(t-1)+(t+1)^2=0
=>t=-4
将t=-4代入(a)
=>x^2-10x+9=0
=>x1=1,x2=9
因此m=x2=9
因此这个最大的实数m的值为9
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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