已知关于x的实系数一元二次不等式ax^2+bx+c>=0 (a=0 (a

题目

已知关于x的实系数一元二次不等式ax^2+bx+c>=0 (a=0 (a

答案

一元二次不等式ax²+bx+c≥0 (aa>0 （抛物线y=ax²+bx+c开口必须朝上,否则原不等式不可能在整个R上都不小于0.）
c≥0 （将x=0代入原不等式可得.）
令B=b/a,C=c/a,则
B>1 （由0C≥0 （a>0且c≥0可得）
原不等式除以a得
x²+Bx+C≥0
由其解集是R可得
B²-4C≤0
B²≤4C
M=（a+2b+4c）/（b-a） （分子分母同时除以a）
=（1+2B+4C）/（B-1）
≥（1+2B+B²）/（B-1） (B²=4C时取等号)
=（B²-B+3B-3+4）/（B-1）
=B+3+ 4/（B-1）
=B-1 + 4/（B-1） +4
≥ 2√4 + 4 （由均值不等式知最小值时B-1=4/（B-1）,解得B=3,于是C=B²/4=9/4）
=8
于是在B=b/a=3,C=c/a=9/4时,即在b=3a,c=9a/4时,所求最小值M=8.