设F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为_.
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设F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为_.
题目
设F
1
,F
2
是椭圆C:
x
答案
∵F
1
,F
2
是椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的两个焦点,
在C上存在一点P,使PF
1
⊥PF
2
,且∠PF
1
F
2
=30°,
∴|PF
1
|=2a-c,|PF
2
|=c,|F
1
F
2
|=2c,∠F
1
PF
2
=90°,
∴(2a-c)
2
+c
2
=4c
2
,
整理,得2a
2
-2ac=c
2
,
∴e
2
+2e-2=0,
解得e=
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