证明(m+n)²/2+(m+n)/4≥(m√n)+(n√m)

题目

证明(m+n)²/2+(m+n)/4≥(m√n)+(n√m)

答案

由题意知,m≥0,n≥0,所以,
左边≥(2√mn)²/2+(m+n)/4=2mn+(m+n)/4=(mn+m/4)+(mn+n/4)
≥2√(mn•m/4)+2√(mn•n/4)=(m√n)+(n√m)=右边,
故原不等式成立.(等号当且仅当m=n=1/4时取得)