已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有f(m)+f(n)m+n>0.(1)判断f (x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;(2)解

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有f(m)+f(n)m+n>0.(1)判断f (x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;(2)解

题目
已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有
f(m)+f(n)
m+n
>0.
(1)判断f (x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;
(2)解不等式:f(x+
1
2
)<f(
1
x−1
);
(3)若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
答案
(1)任取-1≤x1<x2≤1,则
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=
f(x1)+f(-x2)
x1-x2
•(x1-x2)

∵-1≤x1<x2≤1,∴x1+(-x2)≠0,
由已知
f(x1)+f(-x2)
x1-x2
>0,又x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在[-1,1]上为增函数;
(2)∵f(x)在[-1,1]上为增函数,
故有
-1≤x+
1
2
≤1
-1≤
1
x-1
≤1
x+
1
2
<
1
x-1
由此解得{x|-
3
2
≤x<-1}

(3)由(1)可知:f(x)在[-1,1]上是增函数,
且f(1)=1,故对x∈[-l,1],恒有f(x)≤1.
所以要使f(x)≤t2-2at+1,对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,
即要t2-2at+1≥1成立,故t2-2at≥0成立.
即g(a)=t2-2at对a∈[-1,1],g(a)≥0恒成立,
只需g(a)在[-1,1]上的最小值大于等于零.
t>0
g(1)≥0
t≤0
g(-1)≥0

解得:t≤-2或t=0或t≥2.
(1)由单调性定义判断和证明;
(2)由f(x)是奇函数和(1)的结论知f(x)在上[-1,1]是增函数,再利用定义的逆用求解;
(3)先由(1)求得f(x)的最大值,再转化为关于a的不等式恒成立问题求解.

函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质;函数恒成立问题.

本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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