用定积分计算曲线面积 到底是精确的还是一个近似值?

题目

用定积分计算曲线面积 到底是精确的还是一个近似值?
我知道微积分的解释 但我就是觉得 无穷细分依旧是近似 这是个说不清楚的问题 流数理论不能让我信服 有人有和我一样的疑惑么

答案

比如圆面积A（A=PI*r*r）,一定小于外切正多边形面积S(n),也一定大于内接正多边形面积s(n).设e是一个正数,选取合适的n,总可以作出比A+e更小的S(n),也可以作出比A-e更大的s(n).
如果圆面积不是A,比如是A+e,上面的做法就会得出矛盾——存在一个外切正多边形,它的面积小于圆.
这论断没有涉及任何无穷过程,只是一个反证法.所以圆的面积精确的是A.
积分的结果可以同样这样做.