若实数xyz满足x²+y²+z²-xy-yz-xz=8,用A表示绝对值x-y,绝对值y-z.绝对值z-x

题目

若实数xyz满足x²+y²+z²-xy-yz-xz=8,用A表示绝对值x-y,绝对值y-z.绝对值z-x
中的最大值,则A最大为

答案

答：
x²+y²+z²-xy-yz-xz=8
两边同时乘以2：
x²-2xy+y²+y²-2yz+z²+x²-2xz+z²=16
(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=16
由对称性设x>=y>=z
设a=|x-y|=x-y>=0,b=|y-z|=y-z>=0,c=|z-x|=x-z>=0
则有：a²+b²+c²=16
所以：A=c=a+b
16=a²+b²+c²=c²-2ab+c²=2c²-2ab>=2c²-c²/2=3c²/2
所以：c²