已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.
题目
已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.
答案
设矩形PNDM的边DN=x,NP=y,
则矩形PNDM的面积S=xy(2≤x≤4),
易知CN=4-x,EM=4-y,
且有
=(1分),
即
=,
∴y=-
x+5(2分),
S=xy=-
x
2+5x(2≤x≤4)(3分),
此二次函数的图象开口向下(4分),
对称轴为x=5(5分)
∴当x≤5时,函数值是随x的增大而增大(6分)
对2≤x≤4来说,
当x=4,即PM=4时,S有最大值(7分)
S
最大=-
×4
2+5×4=12(8分).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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