已知直线y＝kx+1交抛物线y＝x2于A、B两点.(1)求证：OA⊥OB（O为坐标原点）；(2)若△AOB的面积为2,求k的值

题目

已知直线y＝kx+1交抛物线y＝x2于A、B两点.(1)求证：OA⊥OB（O为坐标原点）；(2)若△AOB的面积为2,求k的值

答案

（1）
直线y＝kx+1交抛物线y＝x²于A、B两点
有如下关系
x²=kx+1
x²-kx-1=0
设A点坐标为(p,p²),B点坐标为(q,q²)
直线OA的斜率为p²/p=p ,直线OB的斜率为q²/q=q
因为p,q是方程x²-kx-1=0得两个解,根据一元二次方程解得性质得
p+q=k pq=-1
所以OA⊥OB
（2）
A,B在y＝kx+1上
所以A点坐标又可表示为(p,kp+1),
B可表示为(q,kq+1),
|OA|²=p²+p^4
|OB|²=q²+q^4
(S△AOB)²=|OA|²*|OB|²/2²
4=(p²+p^4)(q²+q^4)/4
p²q²+p²q²q²+p²p²q²+p^4q^4=16
将pq=-1代入得
(-1)²+(-1)²q²+p²(-1)²+(-1)^4=16
1+p²+q²+1=16
p²+q²=14
p²+q²+2pq=14+2pq
(p+q)²=12
k²=12
k=±2√3