已知函数f(x)=3sinxcosx-cos(2x+π3)-cos2x (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间; (Ⅱ)若函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位后,得到的图象关于原点对称,
题目
已知函数f(x)=
sinxcosx-cos(2x+
)-cos
2x
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位后,得到的图象关于原点对称,求实数m的最小值.
答案
(Ⅰ)f(x)=
sin2x-(cos2xcos
-sin2xsin
)-
=
sin2x-cos2x-
=2sin(2x-
)-
,
∴f(x)的最小正周期T=π.
当2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
(k∈Z).
即有kπ-
≤x≤k
π+(k∈Z)时,函数f(x)单调递增,
故所求区间为[kπ-
,k
π+](k∈Z);
(Ⅱ)函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位后得:
g(x)=2sin[2(x-m)-
]-
,
要使g(x)的图象关于原点对称,只需要-2m-
=kπ(k∈Z),
即有m=
π−,所以m的最小值为
.
(Ⅰ)原式可化为f(x)=2sin(2x-
)-
,故根据三角函数的图象和性质可求最小正周期及单调增区间;
(Ⅱ)先写出函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位后得到的解析式,图象关于原点对称即有-2m-
=kπ,从而得解.
三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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