函数f(x)=a^x+logax在区间【1,2】上的最大值与最小值之和为-1/4,最小值与最大值之积为-3/8,则a=

题目

函数f(x)=a^x+logax在区间【1,2】上的最大值与最小值之和为-1/4,最小值与最大值之积为-3/8,则a=

答案

当a=1时f(x)=x+logx在区间【1,2】上梯增且大于0
当a大于1时函数y=a^x单调梯增,且ax在区间【1,2】上大于1,又因为函数y=logax单调梯增,所以y=logax在区间【1,2】上大于0,而y=a^x始终大于0.由题意可知最大值为正,最小值为负 ,所以a小于1大于0.
对f(x)=a^x+logax求导得f(x)‘=a^xIna+1/ ,因为a大于0小于1,f(x)‘单调梯增,当x=2时取最大值为a^2Ina+1/小于0,所以f(x)‘在在区间【1,2】上小于0所以f(x)=a^x+logax在在区间【1,2】上单调梯减,当x=1时为最大,x=2时为最小,a+loga=1/2,a^2+log2a=-3/4解出a