三角形ABC的边长AB=8,角C=60度,面积S=8根号3,

题目

三角形ABC的边长AB=8,角C=60度,面积S=8根号3,
求向量BA乘以向量BC的值?
求AC的长?

答案

△ABC的边长AB=8,∠C=60°,面积S=8√3,求向量BA•BC的值?求AC的长?
△ABC的面积S=(1/2)︱AC︱︱BC︱sin60°=(√3/4)︱AC︱︱BC︱=8√3,
故︱AC︱︱BC︱=32.(1)
在△ABC中使用余弦定理得：
︱AB︱²=64=︱AC︱²+︱BC︱²-2︱AC︱︱BC︱cos60°=︱AC︱²+︱BC︱²-︱AC︱︱BC︱
=(︱AC︱+︱BC︱)²-3︱AC︱︱BC︱=(︱AC︱+︱BC︱)²-96
故(︱AC︱+︱BC︱)²=160
∴︱AC︱+︱BC︱=√160=4√10.(2)
由(1)(2)可知：︱AC︱和︱BC︱是方程x²-4(√10)x+32=0的根.解之得x=[4√10±√(160-128)]/2
=2(√10±√2),即︱AC︱=2(√10+√2),︱BC︱=2(√10-√2)；或︱AC︱=2(√10-√2),
︱BC︱=2(√10+√2)；
sinB=︱AC︱(sin60°)/︱AB︱=2(√10±√2)(√3/2)/8=(√30±√6)/8
cosB=√[1-(√30±√6)²/64]=√[(7±3√5)/16]=(1/4)√(7±3√5)
∴BA•BC=︱BA︱︱BC︱cosB=8×2(√10+√2)×(1/4)√(7±3√5)=8(5√10+11√2)或8(2√10+11√2)