设a.b.c.d为正整数,a^7=b^6,c^3=d^2.已知c-a=17,求b-d=?

题目

设a.b.c.d为正整数,a^7=b^6,c^3=d^2.已知c-a=17,求b-d=?

答案

设a、b、c、d为正整数,且a^7＝b^6,c^3＝d^2,c－a＝17,则d－b等于（601）.
明显看来a,b不能互质
假设a=mk,b=nk(k为最大共约数)
则m^7k^7=n^6k^6
=>m^7k=n^6
∵m,n互质,则m=1,
k=n^6
∴a=n^6,b=n^7
同理
c=N^2,d=N^3
由c-a=17得
N^2-n^6=17
(N-n^3)(N+n^3)=17=1*17
又∵417为质数
∴N-n^3=1,N+n^3=17
得N=9,n=2
得d=N^3=729,b=2^7=128
d-b=601