已知关于x的二次函数y=ax的平方+bx+从(a>0)的图像经过点C(0,1),
题目
已知关于x的二次函数y=ax的平方+bx+从(a>0)的图像经过点C(0,1),
且与x轴交于不同的两点A,B,点A的坐标为(1,0),求1.c的值,2.a的取值范围.3.该二次函数的图像与直线y=1交于C,D两点,设ABCD四点构成的对角线相交于点O,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0
答案
(1)把C(0,1)代入抛物线得:0=0+0+c,
解得:c=1,
(2)把A(1,0)代入得:0=a+b+1,
∴b=-1-a,ax2+bx+1=0,
b2-4ac=(-1-a)2-4a=a2-2a+1>0,
∴a≠1且a>0,
(3)证明:∵0<a<1,
∴B在A的右边,设A(a,0),B(b,0),
∵ax2+(-1-a)x+1=0,
由根与系数的关系得:a+b=1+a/b,ab=1/a,
∴AB=b-a=√(a+b)²-4ab=1-a/a,
把y=1代入抛物线得:ax²+(-1-a)x+1=1,
解得:x1=0,x2=1+a/a,
∴CD=1+a/a
过P作MN⊥CD于M,交X轴于N,则MN⊥X轴,
∵CD∥AB,
∴△CPD∽△BPA,
∴PM/PN=a分之1+a/a分之1-a,
∴PN=1-a/2,PM=1+a/2,
∴S1-S2=1/2+1+a/a+1+a/2-1/2
+1-a/a+1-a/2=1,
即不论a为何只,S1-S2的值都是常数,
这个常数是1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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