p,q满足 log9p=log12q=log16(p+q),求p/q的值?

题目

p,q满足 log9p=log12q=log16(p+q),求p/q的值?

答案

用换底公式
lgp/lg9=lgq/lg12=lg(p+q)/lg16
lgp/2lg3=lgq/(2lg2+lg3)=lg(p+q)/4lg2
lgp/2lg3=lgq/(2lg2+lg3)
2lgplg2+lgplg3=2lgqlg3
lg3=[2lgp/(2lgq-lgp)]lg2
带入lgq/(2lg2+lg3)=lg(p+q)/4lg2
4lgqlg2=2lg(p+q)lg2+lg(p+q)*[2lgp/(2lgq-lgp)]lg2
2lgq=lg(p+q)+lg(p+q)*[lgp/(2lgq-lgp)]
2lgq=lg(p+q)[1+lgp/(2lgq-lgp)]
2lgq=lg(p+q)2lgq/(2lgq-lgp)
所以1=lg(p+q)/(2lgq-lgp)
lg(p+q)=2lgq-lgp=lgq^2-lgp=lg(q^2/p)
p+q=q^2/p
q^2=p^2+pq
p^2+pq-q^2=0
p=(-1±√5)/2*q
因为p,q都是真数,大于0
所以p/q=(-1+√5)/2