已知两点M（-1,0）,N（1,0）,且点P（x,y）使得向量MP×向量MN,向量PM×向量PN,向量NM×向量NP成公差

题目

已知两点M（-1,0）,N（1,0）,且点P（x,y）使得向量MP×向量MN,向量PM×向量PN,向量NM×向量NP成公差
小于零的等差数列.（1）求证 x²+y²=3（x＞0）
（2）若点P的坐标为（x0,y0）,记向量PM与向量PN的夹角为a,求tana

答案

向量MP: (x-(-1),y-0) = (x+1,y)

向量PN: (1-x,0-y) = (1-x,-y)

向量NM: (-1-1,0-0) = (-2,0)

向量MN: (1-(-1),0-0) = (2,0)

向量NP: (x-1,y-0) = (x-1,y)

向量PM: (-1-x,0-y) = (-x-1,-y)

等差数列公差:

向量NM*向量NP- 向量PM*向量PN=向量PM*向量PN-向量MP*向量MN

(-2,0)(x-1,y) - (-x-1,-y) (1-x,-y) = (-x-1,-y) (1-x,-y) -  (x+1,y)(2,0)

(-2*(x-1)+0*y) - ((-x-1)*(1-x)+(-y)*(-y)) = ((-x-1)*(1-x)+(-y)*(-y)) - ((x+1)*2+0*y)

simplify:

-x (x+2)-y^2+3 = (x-2) x+y^2-3

-2 x^2-2 y^2+6 = 0

it is a circle:

x^2+y^2 = 3 证毕（1） 

(2) see Figure

k2=y/(x-1), k1=y/(x+1)

tan(a)=(k2-k1)/(1-k2*k1)=(2 y)/(x^2-y^2-1) 

=2*y/((3-y^2)-y^2-1)=1/y