已知在△ABC中,∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DM⊥AB与M,DN⊥AC交AC的延长线于N,你认为BM与CN之间有什么关系?试证明你的发现.

已知在△ABC中,∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DM⊥AB与M,DN⊥AC交AC的延长线于N,你认为BM与CN之间有什么关系?试证明你的发现.

题目
已知在△ABC中,∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DM⊥AB与M,DN⊥AC交AC的延长线于N,你认为BM与CN之间有什么关系?试证明你的发现.
答案
BM=CN.
理由:连接BD,CD,
∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴DM=DN,
∵DE垂直平分BC,
∴BD=CD,
在Rt△BMD与Rt△CND中
BD=CD
DM=DN

∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL),
∴BM=CN.
连接BD,CD,由角平分线的性质可得DM=DN,线段垂直平分线的性质可得BD=CD,所以Rt△BMD≌Rt△CND(HL),则BM=CN.

角平分线的性质.

此题主要考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定和性质,难度中等,作辅助线很关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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