已知数列an的前n项和Sn=3^n -1,数列bn满足b1=1,bn=3b(n-1)+an,记数列bn的前n项和为Tn.求Tn

题目

已知数列an的前n项和Sn=3^n -1,数列bn满足b1=1,bn=3b(n-1)+an,记数列bn的前n项和为Tn.求Tn

答案

解；
n=1时,a1=S1=3-1=2
n≥2时,an=Sn-S(n-1)=3ⁿ-1-3^(n-1)+1=2×3^(n-1)
n=1时,a1=2×1=2,同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2×3^(n-1)
bn=3b(n-1)+2×3^(n-1)
等式两边同除以3ⁿ
bn/3ⁿ=b(n-1)/3^(n-1) +2/3
bn/3ⁿ-b(n-1)/3^(n-1)=2/3,为定值.
b1/3=1/3,数列{bn/3ⁿ}是以1/3为首项,2/3为公比的等比数列.
bn/3ⁿ=(1/3)(2/3)^(n-1)=2^(n-1)/3ⁿ
bn=2^(n-1)
Tn=b1+b2+...+bn=1+2+...+2^(n-1)=1×(2ⁿ-1)/(2-1)=2ⁿ-1