设△ABC的三边BC=a CA=b AB=c 并设各边上的中线依次为ma mb mc求证a+b+c＜2(ma+mb+mc)

题目

设△ABC的三边BC=a CA=b AB=c 并设各边上的中线依次为ma mb mc求证a+b+c＜2(ma+mb+mc)

答案

证明:设AB,BC,CD三边的中点分别为F,D,E;三条中线交于O,连接DF,DE,EF.
则:OF/OC=EF/BC=1/2,OC=2OF,FC=3OF;同理:AD=3OD,BE=3OE.(1)
∵EF∴EF+DE+DF<2(OE+OF+OD),2EF+2DE+2DF<4OE+4OF+4OD.
即BC+AC+AB<(4/3)*BE+(4/3)*CF+(4/3)*AD<2BE+2CF+2AD.
即:a+b+c<2(ma+mb+mc).