2的6n-3次方+3的2n-1次方能被11整除

题目

2的6n-3次方+3的2n-1次方能被11整除
不用数学归纳法证而是用二项式定理证

答案

证明X=2^(6n-3)+3^(2n-1)能被11整除
解一(最简)：
8^(2n-1)==(-3)^(2n-1) mod 11
X==8^(2n-1)+3^(2n-1) 0 mod 11.（注：将上式移项,即得）
如果不习惯同余记号和mod运算,请看解二.
注：其中直接利用同余性质
(a+km)^n==a^n mod m(注意,k可以是负数；可用二项式定理证明,请自测,下面￥￥￥也会给出)
于是：
8^(2n-1)==(11-3)^(2n-1)==(-3)^(2n-1)==-3^(2n-1) mod 11
￥￥￥
证明：
(km+a)^n
=(km)^n+...+C(n,i)*(km)^(n-i)*a^i+...+n*(km)^(n-1)*a+a^n
=m*Y+a^n (注：当n是未知指数时,Y是n的多项式函数) （￥￥￥）
≡a^n mod m (为方便,≡也记作==)
解二：
(km+a)^n=m*Y+a^n (注：由二项式定理立即心算可得,要写过程的话,见上面￥￥￥)
于是,
8^(2n-1)=(11-3)^(2n-1)=11*k+(-3)^(2n-1)
于是X==8^(2n-1)+3^(2n-1)=11*k,X|:11
注：X|:11表示X被11整除,或者说11|X,11整除X.
事实上,￥￥￥是显而易见的,你说是吗?建议常常应用这个性质.
结合同余和模(mod)运算,可以写得极为简明,并且找到问题的核心所在.利用同余思想,立即会想到将8联系到-3,因为相对于模(除数11),是等效的.于是立即得到解法一,心算就能解决.
如果只考虑到二项式定理,还会考虑将8,3如何拆解,因而解法二还可能一下子想不出.
这个性质应当作为一个熟知的结论而直接应用,于是立即得解.心算就能解决.
解三：分解因式
利用公式
x^(2n-1)+y^(2n-1)
=(x+y)(x^(2n-2)y-x^(2n-3)yy+...+(-1)^(i-1)*x^(2n-1-i)*y^i+...+.)
易知
X=8^(2n-1)+3^(2n-1)=(8+3)*...,于是11|X.(注：我也常记为X|:11)