已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）求证：f（8）=3．（2）求不等式f（x）-f（x-2）＞3的解集．

题目

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求证：f（8）=3．
（2）求不等式f（x）-f（x-2）＞3的解集．

答案

证明：（1）由题意可得f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=3f（2）=3
（2）原不等式可化为f（x）＞f（x-2）+3=f（x-2）+f（8）=f（8x-16）
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
∴

8x−16＞0

x＞8x−16

解得：2＜x＜

（1）由已知利用赋值法及已知f（2）=1可求证明f（8）
（2）原不等式可化为f（x）＞f（8x-16），结合f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数可求

本题考点：抽象函数及其应用．

考点点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是熟练应用函数的性质

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?

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英语翻译

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1． （1）求证：f（8）=3． （2）求不等式f（x）-f（x-2）＞3的解集．