设λ=2是可逆矩阵A的一个特征值,则矩阵(A2)-1必有一个特征值等于?

题目

设λ=2是可逆矩阵A的一个特征值,则矩阵(A2)-1必有一个特征值等于?
帮我写出解答过程和用到什么性质和定理好吗?

答案

如果(A2)-1意思是（A^2）^-1,则矩阵(A2)-1必有一个特征值等于1/4.
设X是λ=2对应的特征向量,则AX=2X,A^2X=AAX=2AX=4X,即A^2X=4X,故得
（1/4）X=（A^2）^-1X,即（A^2）^-1X=（1/4）X,于是1/4是（A^2）^-1的一个特征值.
如果(A2)-1意思是（A^2）-I（I是单位阵）,则矩阵(A2)-I必有一个特征值等于3.
设X是λ=2对应的特征向量,则AX=2X,A^2X=AAX=2AX=4X,即A^2X=4X,故得
A^2X-X=3X,（（A^2）-I）X=3X,故3是（A^2）^-I的一个特征值.