椭圆C:x^/a^+y^/b^=1的离心率为根号3/2,长轴端点与短轴端点的距离为根号5,(1)求椭圆C的方程（2)过P(0,4)的

题目

椭圆C:x^/a^+y^/b^=1的离心率为根号3/2,长轴端点与短轴端点的距离为根号5,(1)求椭圆C的方程（2)过P(0,4)的
直线L与椭圆C交于E,F,若OE垂直OF,求L的斜率

答案

e=c/a=√3/2 c^2/a^2=3/4,c^2=3a^2/4 b^2=a^2/4
a^2+b^2=a^2+a^2/4=(√5)^2
a^2=4,b^2=1,c^2=3
方程：x^2/4+y^2=1
过P(0,4)直线 y-4=kx
E(x1,y1)F(x2,y2)
x1/y1=-y2/x2
x1x2=-y1y2
x^2+4y^2=4
x^2+4(kx+4)^2-4=0
(1+4k^2)x^2+32kx+60=0
x1+x2= -32k/(1+4k^2)
x1x2=60/(1+4k^2)
y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k^2x1x2+4k(x1+x2)+16
(60k^2-128k^2)/(1+4k^2)+16=-60/(1+4k^2)
(17k^2-15)/(1+4k^2)=4
17k^2-15=16k^2+4
k^2=19
k=√19 或 k=-√19
16k^2+4-8k^2+60k+15=0
8k^2+60k+19=0