高一数学数列题

题目

高一数学数列题
在数列An Bn中,A1=B1=1,An+1=An/2An+1,Bn+1-Bn=1/An,Sn=1/B1+1/B2+1/B3+.+1/Bn
1；求Bn
2；求证Sn小于四分之九

答案

【要理解你这题目可真费劲哟.a(n+1)=an/(2an+1)吧?你加个括号多好、不然2个混淆不清】
1.将a(n+1)=an/(2an+1)两边同时取倒数得到1/a(n+1)=1/an+2.
所以数列{1/an}为等差数列,首项为1,公差为2.
因而1/an=1/a1+2(n-1)=2n-1.
那么B（n+1）-Bn=2n-1（注意：往下的求法习惯上用叠加法）
B（n）-B（n-1）=2n-3
.
B（2）-B（1）=1
将上述等式相加得到B（n+1）-B（1）=1+3+5+……+2n-1=n^2（右边所用的是求等差数列前N项和公式,习惯上用高斯求1加到100的方法类似,先求出平均值,再乘以个数,这里个数如果不会确定的话看那些等式的第2项,B的标号从1到n共n项）
所以B（n+1）=n^2+B(1)=n^2+1.同理B（n）=（n-1）^2+1=n^2-2n+2(经验证B1也满足次式）
2.(这类题目通常经过适当缩放就可以证明）
因为n^2-2n+2>n^2-2n=n(n-2)
所以1/(n^2-2n+2)