已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为(  ) A.21717 B.41717 C.81717

已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为(  ) A.21717 B.41717 C.81717

题目
已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为(  )
A.
2
17
17

B.
4
17
17

C.
8
17
17

D. 3
答案
过点D作DE⊥BC于E,
∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴四边形ABED是矩形,
∴BE=AD=2,
∵BC=CD=5,
∴EC=3,
∴AB=DE=4,
延长AB到A′,使得A′B=AB,连接A′D交BC于P,此时PA+PD最小,即当P在AD的中垂线上,PA+PD取最小值,
∵B为AA′的中点,BP∥AD
∴此时BP为△AA′D的中位线,
∴BP=
1
2
AD=1,
根据勾股定理可得AP=
AB2+BP2
=
17

在△APD中,由面积公式可得
△APD中边AP上的高=2×4÷
17
=
8
17
17

故选C.
要求三角形的面积,就要先求出它的高,根据勾股定理即可得.

轴对称-最短路线问题;勾股定理.

此题综合性较强,考查了梯形一般辅助线的作法、勾股定理、三角形的面积计算等知识点.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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