z是复数,z+3/z-3是纯虚数,求z在复平面内对应点的轨迹

题目

z是复数,z+3/z-3是纯虚数,求z在复平面内对应点的轨迹

答案

设 z=a+bi
z+3/z-3是纯虚数,假设为ci,有
z+3/z-3=ci
z+3 = (z-3)*ci = zci - 3ci
a+3+bi = (a+bi)ci-3ci = aci - bc - 3ci
得 a+3 = -bc； b=ac-3c=(a-3)c； c=b/(a-3)
a+3 = -b*b/(a-3)
得 (a+3)(a-3) = -b^2,a^2+b^2=9
注意当b=0时,a=3,z-3=0不是纯虚数
因此,轨迹是一个圆,半径为3,而且不能取实轴上的值