如图,在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=60°,BD+DC=AB.求证:∠ACD=60°.

如图,在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=60°,BD+DC=AB.求证:∠ACD=60°.

题目
如图,在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=60°,BD+DC=AB.求证:∠ACD=60°.
答案
证明:延长BD至E,使CD=DE,连接AE,AD,
∵BD+CD=AB,BE=BD+DE,
∴BE=AB,
∵∠ABD=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=AC,∠E=60°,
在△ACD和△ADE中,
AC=AE
CD=DE
AD=AD

∴△ACD≌△ADE(SSS),
∴∠ACD=∠E=60°.
首先延长BD至E,使CD=DE,连接AE,AD,由BD+DC=AB,易得△ABE是等边三角形,继而证得△ACD≌△ADE,则可证得:∠ACD=∠E=60°.

等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.

此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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