数学选修1-1题

题目

数学选修1-1题
用半径为R的圆铁皮剪去一个圆心角为α的扇形,制成一个圆锥容器,扇形的圆心角α多大时,容器的容积最大?

答案

扇形的弧长为
2πR*A/2π=RA
也就是锥形的底面圆周长.
所以底面的半径为
RA/2π
圆面积为
π(RA/2π)^2=R^2*A^2/4π
高为
√(R^2-R^2A^2/4π^2)=√[R^2*(4π^2-A^2)]/4π
锥形体积
V=1/3*√[R^2*(4π^2-A^2)]/4π*
R^2*A^2/4π
=(R^3/48π^2)*[A^2*√(4π^2-A^2)]
V'=(R^3/48π^2)*{2A*√(4π^2-A^2-A^2*2A/2√(4π^2-A^2)}
=(R^3/48π^2)*{[2A*(4π^-A^2)-A^3]/√(4π^2-A^2)}
V'=0
即[2A*(4π^2-A^2)-A^3]=0
8Aπ^2-3A^3=0
A*(8π^2-3A^2)=0
8π^2=3A^2
A=2√6/3*π