计算 ∫∫D√(5-x^2-y^2)dxdy,D是由圆x^2+y^2=1,x^2+y^2=4及直线y=x,y=0所包围的在第一象限内的区域.

题目

计算 ∫∫D√(5-x^2-y^2)dxdy,D是由圆x^2+y^2=1,x^2+y^2=4及直线y=x,y=0所包围的在第一象限内的区域.

答案

极坐标：∫∫(D) √(5-x²-y²) dxdy=∫∫(D) r√(5-r²) drdθ=∫[0→π/4] dθ∫[1→2] r√(5-r²) dr=(π/4)∫[1→2] r√(5-r²) dr=(π/8)∫[1→2] √(5-r²) d(r²)=-(π/8)(2/3)(...