如图,D是等腰直角三角形ABC的直角边BC上一点,AD的垂直平分线EF分别交AC,AD,AB于点E,M,F,BC=2.

题目

如图,D是等腰直角三角形ABC的直角边BC上一点,AD的垂直平分线EF分别交AC,AD,AB于点E,M,F,BC=2.
(1)当CD=根号2时,求AE的长.
（2）当AD平分∠BAC时,四边形AEDF是什么四边形?并求出CD的值

答案

1.
∵△CDE为RT△
∴CD²+CE²=DE²
∵EF垂直且平分AD
∴△DEM≌△AEM
∴DE=AE
∵CD²+CE²=DE²
∴AE²=CD²+CE²
∵AE=AC-CE=2-CE
∴AE²=4-4CE+CE²=CD²+CE²
得出4-4CE=CD²
∵CD=√2
∴CE=1/2
∴AE=2-CE=3/2
2.
∵△DEM≌△AEM
∴∠CAD=∠ADE
∵AD平分∠BAC
∴∠ADE=∠BAD
∴CE∥AB
同理可证DF∥AC
∵∠ADE=∠ADF,∠DME=∠DMF,DM=DM
∴△DEM≌△DMF
∴DE=DF
因此四边形AECF为菱形
∵AC=2,∠CAD=22.5°
∴CD=AC*tg22.5°=2tg22.5°≈0.8284