设命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足x2−x−6≤0x2+2x−8>0.若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

设命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足x2−x−6≤0x2+2x−8>0.若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

题目
设命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足
x2−x−6≤0
x2+2x−8>0
.若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
答案
若¬p是¬q的充分不必要条件,∴命题 q是命题p的充分不必要条件.
设A={x|x2-4ax+3a2<0,a>0}={x|a<x<3a},B={x|
x2−x−6≤0
x2+2x−8>0
 }={x|2<x≤3},则由题意可得B⊊A.
a≤2
3a>3
,解得 1<a≤2,
故实数a的取值范围为(1,2].
由题意可得q是命题p的充分不必要条件,设A={x|x2-4ax+3a2<0,a>0},B={x|
x2−x−6≤0
x2+2x−8>0
},则由题意可得B⊊A,化简A、B,根据区间端点间的大小关系,
求得实数a的取值范围.

必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的真假判断与应用.

本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义,一元二次不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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