过原点作直线与曲线y=x²+1交于P1,P2两点,求弦P1P2的中点的轨迹方程

题目

过原点作直线与曲线y=x²+1交于P1,P2两点,求弦P1P2的中点的轨迹方程

答案

没P1(x1,y1) P2(x2,y2) 中点（x,y)
则有x1+x2=2x y1+y2=2y
点P1,P2在曲线y=x2+1上
y1=x1^2+1
y2=x2^2+1
二式作差：y1-y2=(x1-x2)(x1+x2)
(y1-y2)/(x1-x2)=k=x1+x2=2x
又因为直线过原点和中点 所以k=y/x
y/x=2x y=2x^2 (x不为零）
当x=0时,中点与P1,P2重合,也满足
所以中点轨迹为y=2x^2