实数α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标,求（α-1)^2+(β-1）^2的最小值

题目

实数α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标,求（α-1)^2+(β-1）^2的最小值

答案

α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标,△>=0
4m²-4m-24>=0
m>=3或m<=-2
α+β=2m
αβ=m+6
（α-1)²+(β-1)²
=α²+β²-2(α+β)+2
=(α+β)²-2αβ-2(α+β)+2
=4m²-2(m+6)-4m+2
=4m²-6m-10
=4(m-3/4)²-49/4
当m=3时,（α-1)²+(β-1)²=4(m-3/4)²-49/4取到最小值
最小值=8