已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（x∈[-1，2]），且函数f（x）在x=1和x=-2/3处都取得极值． （1）求a，b的值； （2）求函数f（x）的单调递增区间．

题目

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈[-1，2]），且函数f（x）在x=1和x=-

2

3

处都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

答案

（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数f（x）在x=1和x=-

2

3

处都取得极值，
∴

f′(1)＝3+2a+b＝0 f′(− 2 3 )＝ 4 3 − 4 3 a+b＝0

，解得

a＝− 1 2 b＝−2

．
（2）由（1）得f(x)＝x3−

1

2

x2−2x+c
当f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）＞0时，
由x∈[-1，2]，得-1＜x＜-

2

3

，或1＜x＜2，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-1，-

2

3

），（1，2]．

（1）由已知得f′（x）=3x²+2ax+b，且

f′(1)＝3+2a+b＝0 f′(− 2 3 )＝ 4 3 − 4 3 a+b＝0

，由此能求出a，b的值．
（2）由f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）＞0，能求出函数f（x）的单调递增区间．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．