已知函数f(x)=a-(1/ |x| ),若f(x)

题目

已知函数f(x)=a-(1/ |x| ),若f(x)<2x在（1,+∞）上恒成立,求实数a的取值范围

答案

f(x)<2x,即
a-(1/ |x| )<2x,又x>1即
a<2x+1/x
设g（x）=2x+1/x （x>1),令x2>x1,则
g（x2）-g（x1）=2x2-1/x1+2x1-1/x2=(x2-x1)(2x1x2-1)/（x1x2）
x2>x1>1,即x2-x1>0,2x1x2-1>0
所以g（x2）-g（x1）>0
所以g（x）为增函数,所以g（x）>g(1)=3
所以a≤g(1)=3,即
a≤3