如图，在△ABC中，∠C=90°，AD所在直线是∠BAC的对称轴，DE⊥AB于E，点F在AC上，BD=DF．求证：（1）DC=DE；（2）CF=EB．

题目

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD所在直线是∠BAC的对称轴，DE⊥AB于E，点F在AC上，BD=DF．求证：（1）DC=DE；（2）CF=EB．

答案

证明：（1）∵直线AD是∠BAC的对称轴，
∴AD平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE；
（2）由（1）知，DC=DE，
且∠C=∠DEB=90°，
在Rt△CFD与Rt△DEB中，

CD＝DE DF＝BD

，
∴Rt△CFD≌Rt△DEB（HL），
∴CF=EB．

（1）由角平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）证得结论；
（2）通过全等三角形的判定定理HL证得Rt△CFD≌Rt△DEB，所以，对应边相等：CF=EB．

本题考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．